Теорема Пуанкаре простими словами

Жюль Анрі Пуанкаре (1854-1912) очолював Паризьку академію наук і був обраний в наукові академії 30 країн світу. Він мав масштаб Леонардо: його інтереси охоплювали фізику, механіку, астрономію, філософію. Математики ж всього світу до цих пір говорять, що тільки дві людини в історії по-справжньому знали цю науку: німець Давід Гілберт (1862-1943) і Пуанкаре.

У 1904 році вчений опублікував роботу, що містила серед іншого припущення, що одержало назву теореми Пуанкаре. Пошук докази істинності цього твердження зайняв близько століття.

Засновник топології

Математичний геній Пуанкаре вражає кількістю розділів науки, де їм були розроблені теоретичні основи різноманітних процесів і явищ. У часи, коли вчені здійснювали прориви в нові світи космосу і в глибини атома, було не обійтися без єдиної основи загальної теорії світобудови. Такою базою стали раніше невідомі галузі математики.

Пуанкаре шукав новий погляд на небесну механіку, він створив якісну теорію диференціальних рівнянь, теорії автоморфних функцій. Дослідження вченого стали основою спеціальної теорії відносності Ейнштейна. Теорема Пуанкаре про повернення говорила серед іншого про те, що зрозуміти властивості глобальних об’єктів або явищ можна досліджуючи складові їх частки і елементи. Це дало потужний поштовх науковим пошукам у фізиці, хімії, астрономії і т. д.

Геометрія – галузь математики, де Пуанкаре став визнаним новатором і лідером світового масштабу. Теорія Лобачевського, відкривши нові виміри і простору, ще потребував чіткої і логічної моделі, і Пуанкаре надав ідеям великого російського вченого прикладний характер.

Розвитком неэвклидовой геометрії стало виникнення топології – галузі математики, яку називали геометрією розміщення. Вона вивчає просторові взаємини точок, ліній, площин, тіл і т. д. без урахування їх метричних властивостей. Теорема Пуанкаре, яка стала символом самих складних завдань в науці, виникла саме в надрах топології.

Одна із семи завдань тисячоліття

На самому початку XXI століття один з підрозділів американського університету в Кембриджі – математичний інститут, заснований на кошти бізнесмена Лендона Т. Клея – опублікував список Millennium Prize Problems (проблем тисячоліття). Він містив сім пунктів з класичних наукових завдань, за рішення кожної з яких засновувалася премія в мільйон доларів:

• Рівність класів P і NP (про відповідність алгоритмів розв’язання задачі та методів перевірки їх правильності).
• Гіпотеза Ходжа (про зв’язки об’єктів і їх подібності, складеного для їх вивчення з «цеглинок» з певними властивостями).
• Гіпотеза Пуанкаре (всяке односвязное компактне тривимірне різноманіття без краю гомеоморфно тривимірній сфері).
• Гіпотеза Рімана (про закономірності розміщення простих чисел).
• Теорія Янга — Міллса (рівняння області елементарних частинок, що описують різні види взаємодій).
• Існування і гладкість рішень рівнянь Нав’є — Стокса (описують турбулентність течій повітря та рідин).
• Гіпотеза Берча — Свиннертон-Дайєра (про рівняннях, що описують еліптичні криві).

Кожна ця проблема мала дуже довгу історію, пошуки їх вирішення приводили до виникнення цілих нових наукових напрямів, але єдино правильні відповіді на поставлені питання не знаходилися. Розуміючі люди говорили, що гроші фонду Клея в безпеці, але так було лише до 2002 року – з’явився той, хто довів теорему Пуанкаре. Щоправда, гроші він не взяв.

Класична формулювання

Гіпотеза, для якої знайдено підтвердження, стає теорема, яка має коректне доказ. Саме це сталося з висловленою Пуанкаре припущенням про властивості тривимірних сфер. У більш загальному вигляді цей постулат говорив про гомеоморфності всякого різноманіття розмірності n і сфери розмірності n як необхідному умови їх гомотопической еквівалентності. Знаменита тепер теорема Пуанкаре відноситься до варіанту, коли n=3. Саме в тривимірному просторі математиків чекали труднощі, для інших випадків докази були знайдені швидше.

Щоб хоч трохи осягти сенс теореми Пуанкаре, не обійтися без ознайомлення з основними поняттями топології.

Гомеоморфизм

Топологія, говорячи про гомеоморфизме, визначає його як взаємно-однозначна відповідність між точками однієї й іншої фігури, в деякому сенсі нерозрізненість. Непідготовленій складно дається теорема Пуанкаре. Для чайників можна привести самий популярний приклад гомеоморфных фігур – куля і куб, також гомеоморфны бублик і кухоль, але не гуртка куб. Фігури гомеоморфны, якщо одну фігуру можна отримати довільній деформацією з іншої, причому це перетворення обмежено деякими властивостями поверхні фігури: її не можна рвати, проколювати, розрізати.

Якщо куб роздути, він легко може стати кулею, якщо куля прим’яти зустрічними рухами, можна отримати кубик. Наявність дірки у бублика і дірки, утвореної ручкою у гуртки, робить їх гомеоморфными, та ж дірка унеможливлює перетворення гуртки в кулю або куб.

Зв’язність

Дірка – важливе поняття, що визначає властивості об’єкта, але категорія абсолютно не математична. Було введено поняття зв’язності. Його містять багато топологічні постулати, в тому числі і теорема Пуанкаре. Простими словами можна говорити так: якщо поверхня кулі обернути петлею з гумової стрічки, вона, стискаючись, зісковзне. Цього не станеться, якщо є отвір, як у тора-бублика, крізь яке можна протягнути цю стрічку. Таким чином визначається головна ознака подібності або відмінності об’єктів.

Різноманіття

Якщо об’єкт або простір розділити на безліч складових частин – околиць, оточуючих якусь точку, – то їх спільність називають різноманіттям. Саме таке поняття містить теорема Пуанкаре. Компактність означає кінцеве число елементів. Кожна окрема околиця підкоряється законам традиційної – эвклидовой – геометрії, але разом вони утворюють щось більш складне.

Найбільш адекватна аналогія цих категорій – поверхня землі. Зображення її поверхні являє собою карти окремих її районів, зібрані в атлас. На глобусі ці зображення знаходять форму кулі, який відносно простору Всесвіту перетворюється в точку.

Тривимірна сфера

За визначенням, сфера – сукупність точок, що рівновіддалені від центру – деякої фіксованої точки. Одновимірна сфера розташована у двомірному просторі у вигляді кола на площині. Двомірна сфера – поверхня кулі, його «корочка» – сукупність точок у тривимірному просторі і, відповідно, тривимірна сфера – суть теореми Пуанкаре – поверхня чотиривимірного кулі. Уявити такий об’єкт дуже важко, але, кажуть, ми – всередині такого геометричного тіла.

Математики приводять ще й таке опис тривимірної сфери: припустимо, що до нашого звичного простору, считаемому необмеженим і визначається трьома координатами (X, Y, Z), додана точка (на нескінченності) таким чином, що в неї завжди можна потрапити, рухаючись в будь-якому напрямку по прямій лінії, тобто будь-яка пряма в цьому просторі стає колом. Кажуть, що є люди, які можуть це уявити і спокійно орієнтуватися в такому світі.

Для них звичайна справа – тривимірний тор. Такий об’єкт можна отримати шляхом повтореного двічі суміщення в одну точку двох, розташованих на протилежних (наприклад, правої та лівої, верхній і нижній) гранях куба. Щоб спробувати уявити тривимірний тор з звичних нам позицій, слід провести абсолютно нереальний експеримент: необхідно вибрати напрями, що взаємно перпендикулярні, вгору, вліво і вперед – і почати рухатися в будь-якому з них по прямій. Через якийсь (кінцеве) час з протилежного напрямку ми повернемося у вихідну точку.

Таке геометричне тіло має принципове значення, якщо хотіти зрозуміти, що таке теорема Пуанкаре. Доказ Перельмана зводиться до обґрунтування існування в тривимірному просторі лише одного односвязного компактного різноманіття – 3-сфери, інші, як 3-тор, неодносвязные.

Довгий шлях до істини

Минуло більше півстоліття, перш ніж з’явилося рішення теореми Пуанкаре для великих ніж 3 розмірностей. Стівен Смэйл (нар. 1930), Джон Роберт Стэллингс (1935-2008), Ерік Крістофер Земан (нар. 1925) знайшли рішення для n, рівного 5, 6 і рівного або більше 7. Тільки в 1982 році Майкл Фрідман (нар. 1951) був удостоєний вищої математичної нагороди – Філдсівської премії – за доказ теореми Пуанкаре для більш складного випадку: коли n=4. У 2006 році ця нагорода – медаль Філдса – була присвоєна російському математику з Санкт-Петербурга. Григорій Якович Перельман довів теорему Пуанкаре для тривимірного різноманіття і тривимірної сфери. Отримувати нагороду він відмовився.

Звичайний геній

Григорій Якович народився 13 червня в Ленінграді, в інтелігентній сім’ї. Батько – інженер-електрик – на початку 90-х виїхав на ПМП до Ізраїлю, мати викладала математику в ПТУ. Крім любові до гарної музики, вона прищепила синові захоплення рішенням завдань і головоломок. У 9-му класі Григорій перевівся на фізико-математичну школу № 239, але ще з 5-го класу він відвідував математичний центр при Палаці піонерів. Перемоги у всесоюзних і міжнародних олімпіадах дозволили вчинити Перельману до Ленінградського університету без іспитів.

Багато фахівців, особливо російські, відзначають що Григорій Якович був підготовлений до небаченого злету високим класом ленінградської школи геометрів, яку він пройшов на мехматі Ленінградського держуніверситету і в аспірантурі при Математичному інституті ім. В. А. Стеклова. Ставши кандидатом наук, він став працювати в ньому.Важкий час 90-х змусило молодого вченого виїхати на роботу в США. Ті, хто знав його тоді, відзначали його аскетизм в побуті, захопленість роботою, прекрасну підготовку і високу ерудицію, які і стали запорукою того, що Перельман довів теорему Пуанкаре. Впритул зайнявся цією проблемою після повернення до Санкт-Петербурга в 1996 році, але почав думати над нею ще в США.

Правильний напрямок

Григорій Якович відзначає, що його завжди захоплювали складні проблеми, такі як теорема Пуанкаре. Доказ Перельман став шукати в напрямку, винесеному з бесіди з професором Колумбійського університету Річардом Гамільтоном (нар. 1943). Під час перебування в США він спеціально їздив з іншого міста на лекції цього неординарного вченого. Перельман відзначає прекрасне доброзичливе ставлення до молодого професора математику з Росії. У їх розмові Гамільтон згадав про потоках Річчі – системі диференціальних рівнянь – як спосіб вирішення теорем геометризації.Згодом Перельман намагався зв’язатися з Гамільтоном і обговорити хід роботи над завданням, але не отримав відповіді. Довгий час після повернення на батьківщину Григорій Якович провів наодинці з важким завданням, якою була теорема Пуанкаре. Доказ Перельмана – підсумок величезних зусиль і самозречення.

Гамільтон прийшов у глухий кут, коли побачив, що при перетвореннях кривих під дією потоків Річчі утворюються сингулярні (які звертаються в нескінченність) зони, які не передбачала теорема Пуанкаре. Простими словами, Перельману вдалося нейтралізувати утворення таких зон, і різноманіття благополучно перетворилося в сферу.

Потоки Річчі

Односвязное 3-мірне різноманіття наділяється геометрією, вводяться метричні елементи з відстанню і кутами. Легше зрозуміти це на одновимірних многовидах. Гладка замкнена крива на эвклидовой площині наділяється в кожній точці дотичним вектором одиничної довжини. При обході кривий вектор обертається з певною кутовою швидкістю, яка визначає кривизну. Де вигнута лінія сильніше, кривизна більше. Кривизна позитивна, якщо вектор швидкості повернутий у бік внутрішньої частини площини, яку ділить наша лінія, і негативна, якщо обернутий назовні. В місцях перегину кривизна дорівнює 0.

Тепер кожній точці кривої призначається вектор, перпендикулярний вектору кутової швидкості, а довжиною дорівнює величині кривизни. Його напрямок всередину при позитивної кривизни і зовні – при негативній. Кожну точку змушуємо рухатися в напрямку зі швидкістю, що визначаються відповідним вектором. Замкнута крива, проведена в будь-якому місці площині, при такій еволюції перетворюється в коло. Це справедливо для розмірності 3, що і було потрібно довести.

Немає пророка…

Він зійшов на свій Еверест, яким визнається математиками теорема Пуанкаре. Доказ Перельман виклав в Інтернет у вигляді трьох невеликих статей. Вони негайно викликали ажіотаж, хоча російський математик не пішов покладеної дорогою – публікація в спеціалізованому журналі у супроводі професійних рецензій. Григорій Якович протягом місяця роз’яснював в університетах США суть свого відкриття, але до кінця зрозуміли хід його думки збільшувалася дуже повільно.

Лише через чотири роки з’явився висновок найбільших авторитетів: докази російського математика коректні, перша з проблем тисячоліття вирішена.

Епоха соцмереж

Йому довелося пережити ажіотаж і хамство в соцмережах, мовчання тих, кого він поважав, і крики інших, учили його життя. Енергійні китайці спочатку оцінили його внесок у розв’язання проблеми 25 %, собі та іншим нарахувавши 80! Потім начебто прийшло світове визнання, але витримати таке дано не кожному.Хочеться вірити: він витримав, і в житті його – гармонія бажань і можливостей.