Коли ми зводимо числа в дробові ступені, беремо логарифм, вирішуємо складний інтеграл, визначаємо арксинуса і синус, а також інші тригонометричні функції, ми користуємося калькулятором, що дуже зручно. Однак ми знаємо, що калькулятори можуть здійснювати лише найпростіші арифметичні дії, в той час як для взяття логарифма необхідно знати основи математичного аналізу. Як же калькулятор справляється зі своїм завданням? Для цього математики вклали в нього вміння розкладати функцію в ряд Тейлора і Маклорена.
Інструкція
1. Ряд Тейлора був виведений вченим Тейлором у 1715 році для апроксимацій складних математичних функцій, таких, наприклад, як тангенс. Розкладання в цей ряд дозволяє знайти значення абсолютно будь-якої функції, висловлюючи останню через більш прості статечні вираження. Приватним випадком ряду Тейлора є ряд Маклорена. В останньому випадку x0 = 0.
2. Існують так звані формули розкладання в ряд Маклорена для тригонометричних, логарифмічних та інших функцій. Використовуючи їх, можна знайти значення ln3, sin35 і інші, тільки множачи, віднімаючи, підсумовуючи і ділячи, тобто виробляючи лише найпростіші арифметичні дії. Цей факт використовується в сучасних ЕОМ: завдяки формулами розкладання можна значно скоротити програмне забезпечення і, отже, зменшити завантаження оперативної пам’яті.
3. Ряд Тейлора – ряд сходиться, тобто кожний наступний член ряду менше попереднього, як в нескінченно спадної геометричної прогресії. Таким чином можна виконувати еквівалентні обчислення з будь-яким ступенем точності. Похибка обчислень визначається за формулою, записаної на малюнку вище.
4. Особливе значення метод розкладання в ряд придбав, коли вчені зрозуміли, що не від усякої аналітичної функції можна аналітично взяти інтеграл, а тому розроблялися методи наближеного розв’язання таких завдань. Метод розкладання в ряд виявився найточнішим з них. Але якщо метод підходить для взяття інтегралів, їм можна вирішувати і так звані вирішуються диффуры, що дозволило вивести нові аналітичні закони теоретичної механіки та її додатках.
