Чому дорівнює гравітаційна постійна?

Після вивчення курсу фізики в головах учнів залишаються всілякі постійні та їх значення. Тема гравітації і механіки не стає винятком. Найчастіше відповісти на питання про те, яке значення має гравітаційна постійна, вони не можуть. Альо завжди однозначно скажуть, що вона присутня в законі всесвітнього тяжіння.

З історії гравітаційної постійної

Цікаво, що в роботах Ньютона немає такої величини. Вона з’єднання явилася у фізиці істотно пізніше. Якщо бути конкретніше, то тільки на початку дев’ять ятнадцятого століття. Альо це не означає, що її не було. Просто учені її не визначили і не дізналися її точне значення. До речі, про значення. Гравітаційна постійна постійно уточнюється, оскільки є десятковим дробом з великою кількістю цифр після коми, перед якою стоїть нуль.

Саме тім, що ця величина приймає таке маленьке значення, пояснюється те, що дія сил гравітації непомітно на невеликих тілах. Просто з-за цього множника сила тяжіння виявляється мізерно малою.

Вперше дослідним шляхом встановив значення, яке приймає гравітаційна постійна, фізик Р. Кавендіш. І сталося це в 1788 році.

У його дослідах використовувався тонкий стрижень. Він був підвішений на тоненького дроту з міді і мав довжину близько 2 метрів. До кінців цього стрижня були прикріплені два однакових свинцеві кулі діаметром 5 див. Поруч з ними були встановлені великі свинцеві кулі. Їх діаметр був вже 20 див.

При зближенні великих і маленьких куль спостерігався поворот стрижня. Це говорило про тяжінні. За відомим мас і відстані, а також виміряної силі закручування вдалося досить точно дізнатися, чому одне гравітаційна постійна.

А почалося все з вільного падіння тіл

Якщо помістити в порожнечу тіла різної маси, то вони впадуть одночасно. За умови їх падіння з однакової висоти і його початку в один і той же момент часу. Вдалося розрахувати прискорення, з яким всі тіла падають на Землю. Воно виявилося приблизно дорівнює 9,8 м/с².

Вчені встановили, що сила, з якою все притягається до Землі, присутній завжди. Причому це не залежить від висоти, на яку переміщується тіло. Один метр, кілометр або й сотні кілометрів. Як би далеко не знаходилося тіло, воно буде притягатися до Землі. Інше питання в тому, як її значення буде залежати від відстані?

Саме на це питання знайшов відповідь англійський фізик В. Ньютон.

Зменшення сили тяжіння тіл з їх віддаленням

Для початку він висунув припущення про те, що сила тяжіння зменшується. І її значення знаходиться у зворотній залежності від відстані, зведеного в квадрат. Причому це відстань потрібно відраховувати від центру планети. І провів теоретичні розрахунки.

Потім цей вчений скористався даними астрономів про рух природного супутника Землі — Місяця. Ньютон розрахував, з яким прискоренням вона обертається навколо планети, і отримав ті ж результати. Це свідчило про правдивість його міркувань і дозволив сформулювати закон всесвітнього тяжіння. Гравітаційна постійна у його формулі поки відсутня. На цьому етапі важливо визначити залежність. Що і було зроблено. Сила тяжіння зменшується обернено пропорційно відстані від центру планети, зарахованого у квадрат.

До закону про всесвітнє тяжіння

Ньютон продовжив роздуми. Оскільки Земля притягує Місяць, то і вона сама винна притягатися до Сонця. Причому сила такого тяжіння теж повинна підкорятися описаного їм законом. А потім Ньютон поширив його на всі тіла всесвіту. Тому і назву закону включає слово «світова».

Сили всесвітнього тяжіння тіл визначаються як пропорційно залежать від твору мас і зворотні квадрату відстані. Пізніше, коли був визначений коефіцієнт, формула закону набула такого вигляду:

• F_т = G (m₁ *х m₂) : r².

В ній введені такі позначення:

Формула гравітаційної постійної випливає з цього закону:

• G = (F_т Х r²) : (m₁ х m₂).

Значення гравітаційної постійної

Тепер настала черга конкретних чисел. Оскільки вчені постійно уточнюють це значення, то в різні роки були офіційно прийняті різні числа. Наприклад, за даними за 2008 рік гравітаційна постійна дорівнює 6,6742 х 10^-11 Н?м²/кг². Минуло три роки – і константу перерахували. Тепер гравітаційна постійна дорівнює 6,6738 х 10^-11 Н?м²/кг². Альо для школярів у вирішенні завдань допустимо її округлення до такої величини: 6,67 х 10^-11 Н?м²/кг².

У чому фізичний зміст цього числа?

Якщо в формулу, яка надана для закону всесвітнього тяжіння, підставити конкретні числа, то вийде цікавий результат. У приватному разі, коли маси тіл дорівнюють 1 кілограму, а розташовані вони на відстані 1 метра, сила тяжіння виявляється дорівнює самому числу, яке відоме гравітаційної постійної.

То є сенс гравітаційної постійної полягає в тому, що вона показує, з якою силою будуть притягатися такі тіла на відстані одного метра. За кількістю видно, наскільки мала ця сила. Адже вона в десять мільярдів менше одиниці. Її навіть неможливо помітити. Навіть при збільшенні тіл в сотню разів результат суттєво не зміниться. Він як і раніше залишиться набагато менше одиниці. Тому стає зрозуміло, чому сила тяжіння помітна тільки в тих ситуаціях, якщо хоча б одне тіло має величезну масу. Наприклад, планета чи зірка.

Як пов’язана гравітаційна постійна з прискоренням вільного падіння?

Якщо порівняти дві формули, одна з яких буде для сили тяжіння, а інша для закону тяжіння Землі, то можна побачити просту закономірність. Гравітаційна постійна, маса Землі і квадрат відстані від центру планети складають коефіцієнт, який дорівнює прискоренню вільного падіння. Якщо записати це формулою, то вийде наступне:

• g = (G х M) : r².

Причому в ній використовуються такі позначення:

До речі, гравітаційну постійну можна знайте і з цієї формули:

• G = (g х r²) : M.

Якщо потрібно дізнатися прискорення вільного падіння на деякій висоті над поверхнею планети, то стане в нагоді така формула:

• g = (G х M) : (r + n)², де н — висота над поверхнею Землі.

Завдання, в яких вимагається знання гравітаційної постійної

Завдання перше

Умова. Чому дорівнює прискорення вільного падіння на одній з планет Сонячної системи, наприклад, на Марсі? Відомо, що маса 6,23·10²³ кг, а радіус планети 3,38·10⁶ м.

Рішення. Потрібно скористатися тією формулою, яка була записана для Землі. Тільки підставити в неї значення, дані в завданні. Вийде, що прискорення вільного падіння буде дорівнює добутку 6,67 х 10^-11 і 6,23 х 10²³, яке потім потрібно розділити на квадрат 3,38·10⁶. У чисельнику виходить значення 41,55 х 10¹². А у знаменнику буде 11,42 х 10¹². Мірою зменшаться, тому для відповіді достатня тільки дізнатися частка двох чисел.

Відповідь: 3,64 м/с².

Завдання одного

Умова. Що потрібно зробити з тілами, щоб зменшити їх силу тяжіння в 100 разів?

Рішення. Оскільки масу тіл змінювати не можна, то сила буде зменшуватися за рахунок видалення їх один від одного. Сотня виходить від зведення в квадрат 10. Отже, відстань між ними повинно бути в 10 разів більше.

Відповідь: віддалити їх на відстань, що перевищує початкове в 10 разів.