Давайте розберемося, як обчислити визначений інтеграл таблично заданої функції за допомогою програми Excel з складу Microsoft Office.
Вам знадобиться
- – комп’ютер з встановленим додатком MS Excel;
- – таблично задана функція.
Інструкція
1. Припустимо, у нас є таблично задана деяка величина. Для прикладу нехай це буде накопичена доза радіації при авіаперельоті. Скажімо, був такий експеримент: людина з дозиметром летів на літаку з пункту А в пункт Б і періодично вимірював дозиметром потужність дози (вимірюється в мікрозівертах в годину). Вас, можливо, це здивує, але при звичайному переліт на літаку людина отримує дозу радіації в 10 разів більше, ніж фоновий рівень. Але вплив це короткочасне і тому не небезпечне. За результатами вимірювань у нас є таблиця ось такого формату: Час – Потужність дози.
2. Суть методу в тому, що визначений інтеграл – це площа під графіком потрібної нам величини. У нашому прикладі, якщо політ тривав майже 2 години, з 17:30 до 19:27 (див. малюнок), то щоб знайти накопичену дозу, потрібно визначити площу фігури під графіком потужності дози – графіком таблично заданої величини.
3. Обчислювати інтеграл ми будемо самим простим, але досить точним методом – методом трапецій. Нагадаю, кожну криву можна розділити на трапеції. Сума площ цих трапецій і буде шуканим інтегралом.
Площа трапеції визначається просто: полусумма підстав, помножена на висоту. Заснування у нашому випадку – це табличні виміряні значення потужності дози за 2 послідовних проміжку часу, а висота – це різниця часу між двома вимірами.
4. У нашому прикладі вимірювання потужності дози радіації дається в мкЗв/год. Переведемо це в мкЗв/хв, т. к. дані даються з періодичністю 1 раз в хвилину. Це потрібно для узгодження одиниць вимірювання. Ми не можемо брати інтеграл по часу, вимірюваного в хвилинах, від величини, що вимірюється у годинах.
Для перекладу просто розділимо потужність дози в мкЗв/год порядково на 60. Додамо ще один стовпець в нашу таблицю. На ілюстрації в стовпці “D” у рядку 2 вписуємо “=С2/60”. А потім з допомогою маркера заповнення (тягнемо мишею чорний прямокутник у правому нижньому куті комірки) поширюємо цю формулу на всі інші комірки в стовпці “D”.
5. Тепер потрібно знайти трапецій площі за кожний проміжок часу. У стовпці “E” будемо обчислювати за наведеною вище формулою трапецій площі.
Полусумма підстав – це половина суми двох послідовних потужностей дози стовпця “D”. Так як дані йдуть з періодом 1 разів у хвилину, а ми беремо інтеграл по часу, вираженого в хвилинах, то висота кожної трапеції дорівнює одиниці (різниця часу між кожними двома послідовними вимірами, наприклад, 17ч31м – 17ч30м = 0ч1м).
Отримуємо формулу у клітинці “E3”: “=1/2*(D2+D3)*1”. Зрозуміло, що “*1” можна не писати, я зробив це просто для повноти картини. Малюнок пояснює все більш наочно.
Аналогічно, за допомогою маркера заповнення, поширюємо формулу на весь стовпець. Тепер у кожній клітинці стовпця “Е” порахована накопичена доза за 1 хвилину польоту.
6. Залишилося знайти суму обчислених площ трапецій. Можна в клітинці “F2″ написати формулу=SUM(E:E)”, це і буде шуканим інтегралом – сума усіх значень в стовпці “E”.
Можна зробити трохи складніше, щоб визначити накопичену дозу в різні моменти польоту. Для цього в комірці “F4″ впишемо формулу: =SUM(E$3:E4)” і маркером заповнення поширимо на весь стовпець “F”. Позначення “E$3” говорить програмі Excel, що міняти індекс першої клітинки, від якої ведемо рахунок, не потрібно.
Побудуємо графік по колонках “F” і “A”, тобто зміна накопиченої дози радіації у часі. Наочно видно збільшення інтеграла, як і повинно бути, і остаточне значення накопиченої за двогодинний політ дози радіації дорівнює приблизно 4,5 мікрозіверт.
Таким чином, ми тільки що знайшли визначений інтеграл таблично заданої функції в програмі Excel на реальному фізичному прикладі.
