Як знайти корінь рівняння: лінійного, квадратного, кубічного?

Рівняння в математиці так само важливі, як дієслова в російській мові. Без вміння знаходити корінь рівняння складно стверджувати, що учень засвоїв курс алгебри. До того ж для кожного виду існують свої особливі шляхи вирішення.

Що це таке?

Рівняння – це два довільних вирази, що містять змінні величини, між якими поставлено знак рівності. Причому кількість невідомих величин може бути довільним. Мінімальна кількість – одна.

Розв’язати його – це значить дізнатися, чи є корінь рівняння. Тобто число, яке перетворює його у вірне рівність. Якщо його немає, то відповіддю є твердження, що «коренів немає». Але може бути й протилежне, коли відповіддю є безліч чисел.

Які види рівнянь існують?

Лінійне. Воно містить змінну, ступінь якої дорівнює одиниці.

• Квадратне. Змінна варто зі ступенем 2, або перетворення приводять до появи такої міри.
• Рівняння вищого ступеня.
• Дробово-раціональне. Коли змінна величина виявляється в знаменнику дробу.
• З модулем.
• Ірраціональне. Тобто таке, яке містить алгебраїчний корінь.

Як вирішується лінійне рівняння?

Воно є основним. До такого виду прагнуть привести всі інші. Так як у нього знайти корінь рівняння досить просто.

• Спочатку потрібно виконати можливі перетворення, тобто розкрити дужки і привести подібні доданки.
• Перенести всі одночлены з змінною величиною в ліву частину рівності, залишивши вільні члени в правій.
• Привести подібні члени в кожній частині вирішується рівняння.
• В отриманому рівності в лівій його половині буде стояти твір коефіцієнта і змінної, а в правій – число.
• Залишилося знайти корінь рівняння, розділивши число праворуч, на коефіцієнт перед невідомою.

Як знайти корені квадратного рівняння?

Спочатку його треба привести до стандартного вигляду, тобто розкрити дужки, привести подібні доданки і перенести все одночлены в ліву частину. В правій частині рівності повинен залишитися тільки нуль.

• Скористайтеся формулою для дискримінанта. Зведіть в квадрат коефіцієнт перед невідомою зі ступенем «1». Перемножьте вільний одночленів і число перед змінної у квадраті з числом 4. З отриманого квадрата відніміть твір.
• Оцініть значення дискримінанта. Він від’ємний – рішення закінчено, так як у нього коренів немає. Дорівнює нулю – відповіддю буде одне число. Позитивний – два значення змінної.

• 

  Знайдіть два кореня рівняння за формулою, в якій квадратний корінь з дискримінанта потрібно відняти або скласти з негативним коефіцієнтом при змінній в першого ступеня. Потім розділити на подвоєний коефіцієнт, що стоїть перед квадратом невідомою. (У випадку рівності дискримінанта нулю додавати або віднімати потрібно буде нуль, тому два кореня співпадуть.)

Як вирішити кубічне рівняння?

Спочатку знайдіть корінь рівняння x. Він визначається методом підбору з чисел, які є дільниками вільного члена. Цей спосіб зручно розглянути на конкретному прикладі. Нехай рівняння має вигляд: х³ – 3х² – 4х + 12 = 0.

Його вільний член дорівнює 12. Тоді дільниками, які потрібно перевірити, будуть позитивні і негативні числа: 1, 2, 3, 4, 6 і 12. Перебір можна закінчити вже на 2. Воно дає вірне рівність у рівнянні. Тобто його ліва частина виявляється рівною нулю. Означає число 2 – це перший корінь кубічного рівняння.

Тепер необхідно розділити вихідне рівняння на різницю змінної і першого кореня. На конкретному прикладі (х – 2). Нескладне перетворення призводить чисельник до такого розкладання на множники: (х – 2)(х + 2)(х – 3). Однакові множники чисельника і знаменника скорочуються, а решта дві дужки при розкритті дають просте квадратне рівняння: х² – х – 6 = 0.

Тут знайдіть два кореня рівняння за принципом, описаним у попередньому розділі. Ними виявляються числа: 3 -2.

Разом конкретного кубічного рівняння вийшло три кореня: 2, 2 і 3.

Як розв’язуються системи лінійних рівнянь?

Тут запропоновано метод виключення невідомих. Він полягає в тому, щоб висловити одну невідому через іншу в одному рівнянні і підставити вираз в інше. Причому рішення системи двох рівнянь з двома невідомими завжди є пара змінних величин.

Якщо в них змінні позначені літерами х₁ і х₂, то можна з першої рівності вивести, наприклад, х₂. Потім воно підставляється в друге. Проводиться необхідне перетворення: розкриття дужок і зведення подібних членів. Виходить просте лінійне рівняння, корінь якого легко обчислити.

Тепер поверніться до першого рівняння і знайдіть корінь рівняння x₂, використовуючи отримане рівність. Ці два числа є відповіддю.

Простий рада

Для того щоб бути впевненим в отриманій відповіді, рекомендується завжди робити перевірку. Її не обов’язково записувати.

Якщо вирішується одне рівняння, то кожний з його коренів потрібно підставити в початкове рівність і отримати однакові числа в обох його частинах. Все зійшлося – рішення правильне.

При роботі з системою коріння необхідно підставляти в кожне рішення і виконувати всі можливі дії. Виходить вірне рівність? Значить правильне рішення.